شرح وحل مسألة الاتزان (لعبة الأرجوحة): كيف يعمل العزم؟

هل جلست يوماً على أرجوحة مع صديق لك، ولاحظت أن الشخص الأثقل وزناً يجب أن يجلس أقرب إلى المنتصف لتحقيق التوازن؟ أو هل حاولت فتح باب ثقيل من مقبضه، ثم جربت دفعه من قرب المفصلات ولاحظت الفرق الهائل في الجهد؟

هذه ليست مجرد مواقف عابرة، بل هي تطبيقات مباشرة لواحد من أهم المبادئ في علم الفيزياء: الاتزان الدوراني ومفهوم العزم.

قد يبدو مصطلح "العزم" معقداً، لكنه ببساطة القوة التي تسبب الدوران. فهم هذا المفهوم هو مفتاح فهم كل شيء يدور حولنا، من الأرجوحة في الحديقة إلى دوران الكواكب.

في هذا الدليل المفصل من "بوصلة الطالب"، سنأخذ مثالاً بسيطاً ومشهوراً (مسألة الأرجوحة) لنفكك هذا المفهوم المعقد. سنعلمك خطوة بخطوة:

• ما هو العزم وكيف يتم حسابه؟

• ما هو شرط الاتزان الذي يجعل الأجسام لا تدور؟

• كيف تطبق هذا الشرط لحل أي مسألة اتزان بثقة تامة؟

هدفنا ليس فقط حل المسألة، بل أن ترى الفيزياء في كل شيء حولك. هيا بنا نكتشف سر الاتزان.

عرض المشكلة: لغز الأرجوحة 

قبل أن نتعمق في القوانين، لنقرأ اللغز الذي نريد حله بتركيز.

نص السؤال:

"يجلس طفلان على طرفي أرجوحة. وزن الطفل الأول 300 نيوتن ويجلس على بعد 1.5 متر من نقطة الارتكاز. إذا كان وزن الطفل الثاني 450 نيوتن، فعلى أي بعد من نقطة الارتكاز يجب أن يجلس ليحافظ على اتزان الأرجوحة؟"

شرح القانون وتحليل المسألة)

الخطوة الأولى: فهم الأداة الرئيسية (قانون العزم)

قبل حل المسألة، يجب أن نفهم الأداة التي سنستخدمها. هذه الأداة هي "العزم"

.ما هو العزم (Torque)؟

ببساطة، العزم هو مقدرة القوة على إحداث دوران جسم حول محور. تخيل أنك تفتح باباً:

• القوة (ق): هي قوة يدك التي تدفع الباب.

• ذراع القوة (ل): هي المسافة بين مكان دفعك الباب (المقبض) ومحور الدوران (المفصلات).

• العزم (عزم): هو التأثير الدوراني الذي تحدثه.

قانون حساب العزم:

العزم بسيط جداً في حسابه، وهو حاصل ضرب القوة في ذراعها.

عزم = القوة × ذراع القوة

عزم = ق × ل 

ملاحظة هامة: لكي يكون هناك عزم، يجب أن تكون القوة عمودية على ذراع القوة، وهذا ما يحدث في معظم المسائل البسيطة مثل مسألة الأرجوحة (قوة الوزن دائماً تتجه لأسفل، وذراع الأرجوحة أفقي).

الخطوة الثانية: استخراج المعطيات والمطلوب من اللغز

الآن، لنطبق هذا الفهم على مسألتنا ونستخرج المعلومات كالمحترفين. من الأفضل دائماً رسم رسم تخطيطي بسيط للمسألة لتتضح الصورة.

الطفل الأول (على اليسار مثلاً):

• قوته (وزنه): ق₁ = 300 نيوتن

• ذراع قوته (بعده عن المركز): ل₁ = 1.5 متر

الطفل الثاني (على اليمين مثلاً):

• قوته (وزنه): ق₂ = 450 نيوتن

• ذراع قوته (بعده عن المركز): ل₂ = ؟ (هذا هو المطلوب)

الحالة العامة:

• المطلوب هو تحقيق "الاتزان".

الخطوة الثالثة: فهم شرط الاتزان الدوراني 

هذه هي المعلومة الذهبية لحل المسألة. ماذا يعني أن تكون الأرجوحة "متزنة"؟

هذا يعني أنها لا تدور. لكي لا يدور أي جسم، يجب أن يكون مجموع العزوم التي تحاول تدويره مع عقارب الساعة مساوياً مجموع العزوم التي تحاول تدويره عكس عقارب الساعة.

• الطفل الأول (الأخف): يحاول تدوير الأرجوحة عكس عقارب الساعة.

• الطفل الثاني (الأثقل): يحاول تدوير الأرجوحة مع عقارب الساعة.

إذن، شرط الاتزان هو:

عزم الطفل الأول = عزم الطفل الثاني

(ق₁ × ل₁) = (ق₂ × ل₂)

 الحل الرياضي والأقسام النهائية)

الخطوة الرابعة: تطبيق القانون وحل المسألة 

الآن بعد أن أصبح لدينا كل شيء (المعطيات والقانون)، أصبحت عملية الحل سهلة ومباشرة جداً. كل ما علينا فعله هو التعويض في قانون الاتزان الذي استنتجته

1. نكتب قانون الاتزان:

(ق₁ × ل₁) = (ق₂ × ل₂)

2. نعوض بالقيم التي استخرجتها من المسألة:

(300 × 1.5) = (450 × ل₂)

3. نحسب الطرف المعروف (عزم الطفل الأول):

300 × 1.5 = 450 

4. الآن أصبحت المعادلة أبسط:

450 = 450 × ل₂

5. لإيجاد قيمة "ل₂"، نقسم الطرفين على معاملها (450):

ل₂ = 450 / 450  ل₂ = 1 متر

النتيجة النهائية:

إذن، لكي تتزن الأرجوحة، يجب على الطفل الثاني (الأثقل) أن يجلس على بعد 1 متر فقط من نقطة الارتكاز.

تحليل النتيجة (وهذا هو الفهم الفيزيائي الحقيقي):

النتيجة منطقية جداً. الطفل الأثقل (450 نيوتن) يجب أن يجلس أقرب إلى المركز من الطفل الأخف (300 نيوتن) يحدث نفس التأثير الدوراني (العزم). هذا هو المبدأ الذي نراه دائماً في حياتنا اليومية.

حالة متقدمة: ماذا لو انضم طفل ثالث للعبة؟

لقد أتقنت الآن حالة الطفلين. لكن ماذا لو أردنا تعقيد اللعبة قليلاً؟ لنفترض أن طفلاً ثالثاً وزنه 100 نيوتن أراد الانضمام. أين يمكن أن يجلس لتحافظ الأرجوحة على اتزانها؟

هنا يصبح التفكير الفيزيائي ممتعاً. لدينا عدة احتمالات، لكن أبسطها هو أن يجلس مع الطفل الأخف وزناً لمساعدته.

السيناريو الجديد:

• الجهة اليسرى (عكس عقارب الساعة): يجلس فيها الطفل الأول (300 نيوتن على بعد 1.5 م) والطفل الثالث (100 نيوتن).

• الجهة اليمنى (مع عقارب الساعة): يجلس فيها الطفل الثاني (450 نيوتن على بعد 1 م).

هل ستبقى الأرجوحة متزنة؟ لنحسب العزم مجدداً.العزم الكلي عكس عقارب الساعة: 

عزم الجهة اليسرى = عزم الطفل الأول + عزم الطفل الثالث

لنفترض أن الطفل الثالث سيجلس على بعد 1.2 متر من المركز.

عزم الجهة اليسرى = (300 × 1.5) + (100 × 1.2)

عزم الجهة اليسرى = 450 + 120 = 570 نيوتن.متر

 العزم الكلي مع عقارب الساعة:

عزم الجهة اليمنى = عزم الطفل الثاني 

عزم الجهة اليمنى = 450 × 1 = 450 نيوتن.متر

 النتيجة:

570 لا تساوي 450. إذن، الأرجوحة لن تتزن. العزم على اليسار أصبح أكبر، وستدور الأرجوحة عكس عقارب الساعة.

هذا المثال المتقدم يوضح لك أن مبدأ الاتزان يظل كما هو: يجب أن تتساوى العزوم على كلا الجانبين. يمكنك الآن أن تتحدى نفسك وتجد البعد الصحيح الذي يجب أن يجلس عليه الطفل الثالث لتتزن اللعبة!

قد تعتقد أن مفهوم العزم والاتزان يقتصر على مسائل الكتب المدرسية، لكن الحقيقة هي أنك تستخدمه وتراه كل يوم في أماكن لم تتوقعها. فهمك لهذا المبدأ يجعلك ترى العالم بعيون فيزيائي.

1. مفتاح ربط الصواميل (مفتاح العجل):

هل لاحظت يوماً لماذا تكون مقابض مفاتيح الربط طويلة؟ كلما زاد طول المقبض (ذراع القوة "ل")، احتجت إلى قوة أقل (ق) لتوليد نفس العزم اللازم لفك صامولة عنيدة. إذا واجهت صامولة مستعصية، فإن استخدام مفتاح ربط أطول هو الحل الفيزيائي الأمثل.

لماذا لا نضع مقبض الباب في منتصفه أو بالقرب من المفصلات؟ لأننا نريد زيادة "ذراع القوة" قدر الإمكان. بوضع المقبض في أبعد نقطة عن محور الدوران (المفصلات)، فإننا نحتاج إلى أقل قوة ممكنة لفتح الباب (توليد العزم اللازم للدوران).

يعمل الميزان التقليدي بنفس مبدأ الأرجوحة تماماً. عندما تضع كتلة معروفة في كفة، وكتلة مجهولة في الكفة الأخرى، فإنك تبحث عن "الاتزان". وبما أن ذراع القوة (بعد الكفتين عن المركز) متساوٍ، فإن الاتزان لا يحدث إلا عندما تتساوى القوتان (الوزنان)، وبالتالي تتساوى الكتلتان.

كيف يمكن رافعة عملاقة أن ترفع أوزاناً هائلة تصل إلى آلاف الأطنان دون أن تنقلب؟ السر يكمن في "العزم المعاكس". ستلاحظ دائماً وجود كتلة خرسانية ضخمة جداً في الطرف الخلفي للرافعة. هذه الكتلة تولد عزماً معاكساً للعزم الذي يولده الحمل المراد رفعه، مما يحافظ على اتزان الرافعة ويمنعها من السقوط.

عندما ترى بهلواناً يمشي على حبل، ستجده دائماً يحمل عصا طويلة جداً. هذه العصا ليست للعرض، بل هي أداة فيزيائية ذكية. عند أي ميلان بسيط، يقوم البهلوان بإمالة العصا في الاتجاه المعاكس ليولد "عزماً معاكساً" يعيد له اتزانه ويمنعه من السقوط.

أسئلة شائعة لتثبيت الفهم

 س1: ماذا لو جلس الطفل الثاني على بعد أكبر من 1 متر؟

في هذه الحالة، سيصبح عزمه (تأثيره الدوراني) أكبر من عزم الطفل الأول، وستهبط الأرجوحة من جهته (ستدور مع عقارب الساعة).

س2: ماذا لو كان الطفلان لهما نفس الوزن؟

لكي يتزنا، يجب أن يكون لهما نفس العزم. وبما أن قوتهما (وزنهما) متساوية، فيجب أن يكون ذراع قوتهما (بعدهما عن المركز) متساوياً أيضاً. أي يجب أن يجلسوا على نفس البعد من نقطة الارتكاز.

س3: هل وحدة "نيوتن" للوزن صحيحة؟ أليس الوزن بالكيلوجرام؟

سؤال ممتاز! في الحياة اليومية نستخدم الكيلوجرام (وهي وحدة كتلة)، لكن في الفيزياء، القوة (ومنها الوزن) تقاس بوحدة "نيوتن". السؤال أعطانا الوزن بالنيوتن مباشرة، وهذا يسهل علينا الحل لأننا لا نحتاج للتحويل.

من لعبة أرجوحة بسيطة، استطعنا أن نفهم مبدأ فيزيائياً عميقاً يتحكم في دوران الأجسام. العزم ليس مجرد قانون في كتاب، بل هو المبدأ الذي يستخدمه المهندسون لبناء الرافعات العملاقة، وهو ما يفسر لماذا مقابض الأبواب تكون دائماً بعيدة عن المفصلات.

في المرة القادمة التي ترى فيها شيئاً يدور أو يتوازن، تذكر أن هناك "عزوماً" تعمل في الخفاء. في "بوصلة الطالب"، هدفنا هو أن نريك هذا العالم الخفي.